Показатели вариации
Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака .
Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.
Средняя величина — это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность.
В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность.
Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.
Термин "вариация" произошел от латинского variatio –“изменение, колеблемость, различие”. Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случайную и систематическую.
Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Например, изучая силу и характер вариации в выделяемой совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных отдельных единиц хi к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.
Абсолютные и средние показатели вариации
и способы их расчета.
Для характеристики совокупностей и исчисленных величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средним.
Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей. Наиболее простой из них - размах вариации.
Размах вариации - это разность между наибольшим (
) и наименьшим (
) значениями вариантов.
Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности.
Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:
.
Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий:
1) по значениям признака исчисляется средняя арифметическая:
;
2) определяются отклонения каждой варианты
от средней
;
3) рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений:
;
4) сумма абсолютных величин отклонений делится на число значений:
.
Если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:
Порядок расчета среднего линейного отклонения взвешенного следующий:
1) вычисляется средняя арифметическая взвешенная:
;
2) определяются абсолютные отклонения вариант от средней /
/;
3) полученные отклонения умножаются на частоты
;
4) находится сумма взвешенных отклонений без учета знака:
;
5) сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:
.
Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным и в рядах распределения.
Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается
. В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:
— дисперсия невзвешенная (простая);
— дисперсия взвешенная.
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается S:
— среднее квадратическое отклонение невзвешенное;
— среднее квадратическое отклонение взвешенное.
Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).
Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.
Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.
Порядок расчета дисперсии взвешенную:
1) определяют среднюю арифметическую взвешенную
;
2) определяются отклонения вариант от средней
;
3) возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней
;
4) умножают квадраты отклонений на веса (частоты)
;
5) суммируют полученные произведения
;
6) Полученную сумму делят на сумму весов
.
Свойства дисперсии.
1.Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.
·Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.
1.Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз к соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в
раз, а среднее квадратическое отклонение - в к раз.
1.Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной:
. Если А равна нулю, то приходим к следующему равенству:
, т.е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.
Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.
Порядок расчета дисперсии простой:
1) определяют среднюю арифметическую
;
2) возводят в квадрат среднюю арифметическую
;
3) возводят в квадрат каждую варианту ряда
;
4) находим сумму квадратов вариант
;
5) делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат
;
6) определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней
.
Рассмотрим расчет дисперсии в интервальном ряду распределения.
Порядок расчета дисперсии взвешенной (по формуле
):
1)определяют среднюю арифметическую
;
2)возводят в квадрат полученную среднюю
;
3)возводят в квадрат каждую варианту ряда
;
4)умножают квадраты вариант на частоты
;
5)суммируют полученные произведения
;
6)делят полученную сумму на сумму весов и получают средний квадрат признака
;
7)определяют разность между средним значением квадратов и квадратом средней арифметической, т.е. дисперсию
.
Показатели относительного рассеивания.
Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.
1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.
(1)
2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.
(2)
3. Коэффициент вариации .
(3)
Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если V больше 40 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.
Тема 6:Выборочныйметод в статистике
6.1 Понятие о выборочном методе
6.2 Ошибки выборки
6.3 Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность
Основы выборочногометода
Выборочное наблюдение – одно из наиболее современных видов статистического наблюдения. Выборочное наблюдение – это такое наблюдение, при котором обследованию подвергается часть единиц изучаемой совокупности, отобранных на основе научно разработанных принципов, обеспечивающих получение достаточного количества достоверных данных, для того чтобы охарактеризовать всю совокупность в целом.
Средние и относительные показатели, полученные на основе выборочных данных, должны достаточно полно воспроизводить или репрезентатировать соответствующие показатели совокупности в целом.
Логика выборочного наблюдения
(1)определение объекта и целей выборочного наблюдения;
(2)выбор схема отбора единиц для наблюдения;
(3)расчет объема выборки;
(4)проведение случайного отбора установленного числа единиц из генеральной совокупности;
(5)наблюдение отобранных единиц по установленной программе;
(6)расчет выборочных характеристик в соответствии с программой выборочного наблюдения;
(7)определение ошибки, ее размера;
(8)распространение выборочных данных на генеральную совокупность;
(9)анализ полученных данных.
Основные преимущества
(1)Выборочное наблюдение можно осуществить по более широкой программе.
(2)Выборочное наблюдение более дешевое с точки зрения затрат на его проведение.
(3)Выборочное наблюдение можно организовать тогда и в тех случаях, когда отчетностью мы воспользоваться не можем.
Основные недостатки
(1)Полученные данные всегда содержат в себе ошибку, о результатах наблюдения можно судить лишь с определенной степенью достоверности. Но по сравнению с другими видами наблюдения это достоинство выборочного метода.
(2)Для его проведения требуются квалифицированные кадры.
Вся совокупность единиц, из которых производится отбор, называется генеральной. Совокупность единиц отобранных называется выборочной.
Ошибки выборки
Чтобы оценить степень точности выборочного наблюдения, необходимо оценить величину ошибок, которые могут возникнуть в процессе проведения выборочного наблюдения.
Основное внимание уделяется случайным ошибкам репрезентативности.
Выборочное наблюдение.
Статистическое исследование может осуществляться по данным несплошного наблюдения, основная цель которого состоит в получении характеристик изучаемой совокупности по обследованной ее части. Одним из наиболее распространенных в статистике методов, применяющих несплошное наблюдение, является выборочный метод.
Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора. При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5 — 10%, реже до 15 — 25%). При этом подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью или просто выборкой.
Значение выборочного метода состоит в том, что при минимальной численности обследуемых единиц проведение исследования осуществляется в более короткие сроки и с минимальными затратами труда и средств. Это повышает оперативность статистической информации, уменьшает ошибки регистрации.
В проведении ряда исследований выборочный метод является единственно возможным, например, при контроле качества продукции (товара), если проверка сопровождается уничтожением или разложением на составные части обследуемых образцов (определение сахаристости фруктов, клейковины печеного хлеба, установление носкости обуви, прочности тканей на разрыв и т.д.).
Проведение исследования социально — экономических явлений выборочным методом складывается из ряда последовательных этапов:
1) обоснование (в соответствии с задачами исследования) целесообразности применения выборочного метода;
2) составление программы проведения статистического исследования выборочным методом;
3) решение организационных вопросов сбора и обработки исходной информации;
4) установление доли выборки, т.е. части подлежащих обследованию единиц генеральной совокупности;
5) обоснование способов формирования выборочной совокупности;
6) осуществление отбора единиц из генеральной совокупности для их обследования;
7) фиксация в отобранных единицах (пробах) изучаемых признаков;
8) статистическая обработка полученной в выборке информации с определением обобщающих характеристик изучаемых признаков;
9) определение количественной оценки ошибки выборки;
10) распространение обобщающих выборочных характеристик на генеральную совокупность.
В генеральной совокупности доля единиц, обладающих изучаемым признаком, называется генеральной долей (обозначается р), а средняя величина изучаемого варьирующего признака — генеральной средней (обозначается
).
В выборочной совокупности долю изучаемого признака называют выборочной долей, или частостью (обозначается
), а среднюю величину в выборке — выборочной средней (обозначается
).
Пример.
При контрольной проверке качества хлебобулочных изделий проведено 5%-ное выборочное обследование партии нарезных батонов из муки высшего сорта. При этом из 100 отобранных в выборку батонов 90 шт. соответствовали требованиям стандарта. Средний вес одного батона в выборке составлял 500,5 г при среднем квадратическом отклонении
г.
На основе полученных в выборке данных нужно установить возможные значения доли стандартных изделий и среднего веса одного изделия во всей партии.
Прежде всего устанавливаются характеристики выборочной совокупности. Выборочная доля, или частость,
определяется из отношения единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общей численности единиц выборочной совокупности n:
Поскольку из 100 изделий, попавших в выборку n, 90 ед. оказались стандартными m, то показатель частости равен:
= 90:100=0,9.
Средний вес изделия в выборке х = 500,5 г определен взвешиванием. Но полученные показатели частости (0,9) и средней величины (500,5 г) характеризуют долю стандартной продукции и средний вес одного изделия лишь в выборке. Для
определения соответствующих показателей для всей партии товара надо установить возможные при этом значения ошибки выборки.
Ошибка выборки — это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методом отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.
Определение ошибки выборочной средней.
При случайном повторном отборе средняя ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле:
,
где
— средняя ошибка выборочной средней;
— дисперсия выборочной совокупности;
n — численность выборки.
При бесповторном отборе она рассчитывается по формуле:
,
где N — численность генеральной совокупности.
Определение ошибки выборочной доли.
При повторном отборе средняя ошибка выборочной доли рассчитывается по формуле:
,
где
— выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком;
— число единиц, обладающих изучаемым признаком;
— численность выборки.
При бесповторном способе отбора средняя ошибка выборочной доли определяется по формулам:
Предельная ошибка выборки
связана со средней ошибкой выборки
отношением:
.
При этом t как коэффициент кратности средней ошибки выборки зависит от значения вероятности Р, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки.
Предельная ошибка выборки при бесповторном отборе определяется по следующим формулам:
,
.
Предельная ошибка выборки при повторном отборе определяется по формуле:
,
.
Малая выборка.
При контроле качества товаров в экономических исследованиях эксперимент может проводиться на основе малой выборки.
Под малой выборкой понимается несплошное статистическое обследование, при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности. Объем малой выборки обычно не превышает 30 единиц и может доходить до 4 — 5 единиц.
Средняя ошибка малой выборки
вычисляется по формуле:
,
где
— дисперсия малой выборки.
При определении дисперсии
число степеней свободы равно n-1:
.
Предельная ошибка малой выборки
определяется по формуле
При этом значение коэффициента доверия t зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n. Для отдельных значений t и n доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента (Табл. 9.1.), в которых даны распределения стандартизированных отклонений:
.
Поскольку при проведении малой выборки в качестве доверительной вероятности практически принимается значение 0,59 или 0,99, то для определения предельной ошибки малой выборки
используются следующие показания распределения Стьюдента:
|
0,95
|
0,99 |
4 |
3,183 |
5,841 |
5 |
2,777 |
4,604 |
6 |
2,571 |
4,032 |
7 |
2,447 |
3,707 |
8 |
2,364 |
3,500 |
9 |
2,307 |
3,356 |
10 |
2,263 |
3,250 |
15 |
2,119 |
2,921 |
20 |
2,078 |
2,832 |
